¿Con cuántas personas comparte usted su cumpleaños? Durante muchos años no conocí a nadie que compartiera mi cumpleaños, pero a medida que mi grupo de conocidos se ampliaba, también lo hacía la probabilidad de que al menos alguno de ellos compartiera la misma fecha de nacimiento. Ahora conozco al menos a otras cinco personas que cumplen años en el mismo verano que yo. ¿Cuáles son las probabilidades?
¿Cómo funciona la paradoja del cumpleaños?
La respuesta está en la paradoja del cumpleaños: ¿Qué tamaño debe tener un grupo de personas al azar para que haya un 50% de posibilidades de que al menos dos de ellas compartan fecha de nacimiento?
Tomemos como ejemplo una clase de escolares. Digamos que hay 30 niños en la clase que tienen 365 fechas de nacimiento posibles en un año natural. Las probabilidades de que cualquiera de los alumnos comparta un cumpleaños parecen bastante bajas, ¿verdad? Después de todo, en un grupo de sólo 30 niños, cuyas llegadas se repartieran aleatoriamente en 10 veces más días a lo largo de un año, ninguno compartiría probablemente una fecha de nacimiento, ¿verdad?
Entonces, ¿qué tamaño tiene que tener un grupo de personas al azar para que dos de ellas compartan un cumpleaños? La mayoría de la gente que hace rápidamente las cuentas mentales creerá que la respuesta correcta es 182, que es aproximadamente la mitad del número de días de un año. Pero, ¿realmente se necesitan 182 personas en un grupo para que dos de ellas tengan la misma fecha de nacimiento?
No, no es tan sencillo: La paradoja del cumpleaños tiene que ver con los exponenciales.
Las probabilidades de la paradoja del cumpleaños son exponenciales
“Lo más importante es que la gente subestima significativamente lo rápido que aumenta la probabilidad con el tamaño del grupo. El número de emparejamientos posibles aumenta exponencialmente con el tamaño del grupo. Y los seres humanos son terribles cuando se trata de comprender el crecimiento exponencial”, dijo a Live Science Jim Frost, estadístico y columnista del Statistics Digest de la Sociedad Americana de Calidad.
No somos tan buenos para adivinar las probabilidades, especialmente cuando son tan contradictorias como la paradoja del cumpleaños”.
“Me encantan este tipo de problemas porque ilustran cómo los humanos no son generalmente buenos con las probabilidades, lo que les lleva a tomar decisiones incorrectas o a sacar malas conclusiones”, dijo Frost.
Para saber cuál es el número probable de personas para que dos de ellas sean gemelos de cumpleaños, tenemos que hacer cuentas y empezar un proceso de eliminación.
Para un grupo de dos personas, por ejemplo, la probabilidad de que una persona comparta cumpleaños con la otra es de 364 de 365 días. Esto supone una probabilidad de aproximadamente el 0,27%. Si se añade una tercera persona al grupo, la probabilidad de compartir un cumpleaños pasa a ser de 363 de 365 días, lo que supone una probabilidad de aproximadamente el 0,82%.
La respuesta a la paradoja del cumpleaños
Como habrá adivinado -y con razón-, cuanto mayor sea el grupo, mayores serán las probabilidades de que dos personas hayan nacido el mismo día. Entonces, ¿cuál es la respuesta correcta a la paradoja del cumpleaños? Si seguimos haciendo cálculos, descubriremos que cuando lleguemos a un grupo de 23 personas, habrá aproximadamente un 50% de probabilidades de que dos de ellas compartan cumpleaños.
¿Por qué 23 parece una respuesta tan poco intuitiva? Todo tiene que ver con los exponentes. Nuestros cerebros no suelen calcular el poder compuesto de los exponentes cuando hacemos las cuentas mentalmente. Tendemos a pensar que el cálculo de probabilidades es un ejercicio lineal, lo que no podría estar más lejos de la realidad.
En una habitación con otras 22 personas, si comparas tu cumpleaños con los de las otras 22 personas, sólo habría 22 comparaciones.
Pero si se comparan los 23 cumpleaños entre sí, se hacen muchas más de 22 comparaciones. ¿Cuántas más? Bueno, la primera persona tiene que hacer 22 comparaciones, pero la segunda persona ya se ha comparado con la primera, así que sólo tiene que hacer 21. La tercera persona tiene entonces 20 comparaciones, la cuarta tiene 19, y así sucesivamente. Si se suman todas las comparaciones posibles, el total es de 253 comparaciones, o combinaciones de comparaciones. Por lo tanto, un conjunto de 23 personas implica 253 combinaciones de comparación, o 253 posibilidades de que dos cumpleaños coincidan.
He aquí otro problema de crecimiento exponencial similar a la paradoja del cumpleaños. “A cambio de algún servicio, supongamos que nos ofrecen pagarnos 1 céntimo el primer día, 2 céntimos el segundo, 4 céntimos el tercero, 8 céntimos, 16 céntimos, y así sucesivamente, durante 30 días”, dice Frost. “¿Es un buen trato? La mayoría de la gente piensa que es un mal negocio, pero gracias al crecimiento exponencial, tendrás un total de 10,7 millones de dólares el día 30”.
Cuestiones de probabilidad matemática como éstas “demuestran lo beneficiosas que pueden ser las matemáticas para mejorar nuestras vidas”, dijo Frost. “Así, los resultados contraintuitivos de estos problemas son divertidos, pero también sirven para algo”.
La próxima vez que formes parte de un grupo de 23 personas, puedes sentirte seguro de que tienes un 50 por ciento de posibilidades de compartir un cumpleaños con alguien.