La mecánica celeste, en el sentido más amplio, es la aplicación de la mecánica clásica al movimiento de los cuerpos celestes sobre los que actúan varios tipos de fuerzas. La fuerza más importante que experimentan estos cuerpos, y muchas veces la única, es la de su atracción gravitatoria mutua. Pero también pueden ser importantes otras fuerzas, como el arrastre atmosférico sobre los satélites artificiales, la presión de la radiación sobre las partículas de polvo e incluso las fuerzas electromagnéticas sobre las partículas de polvo si están cargadas eléctricamente y se mueven en un campo magnético.
A veces se supone que el término mecánica celeste se refiere únicamente al análisis desarrollado para el movimiento de partículas de masas puntuales que se mueven bajo sus mutuas atracciones gravitatorias, con énfasis en los movimientos orbitales generales de los cuerpos del sistema solar. El término astrodinámica se utiliza a menudo para referirse a la mecánica celeste del movimiento de los satélites artificiales. La astronomía dinámica es un término mucho más amplio que, además de la mecánica celeste y la astrodinámica, suele interpretarse de forma que incluya todos los aspectos del movimiento de los cuerpos celestes (por ejemplo, la rotación, la evolución de las mareas, las determinaciones de la masa y la distribución de la masa de las estrellas y galaxias, los movimientos de los fluidos en las nebulosas, etc.).
Antecedentes históricos
Primeras teorías
La mecánica celeste tiene sus inicios en la astronomía primitiva, en la que se observaban y analizaban los movimientos del Sol, la Luna y los cinco planetas visibles a simple vista: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno. La palabra planeta deriva de la palabra griega que significa vagabundo, y era natural que algunas culturas elevaran estos objetos que se movían contra el fondo fijo del cielo a la categoría de dioses; este estatus sobrevive en cierto sentido hoy en día en la astrología, donde se piensa que las posiciones de los planetas y el Sol influyen de alguna manera en las vidas de los individuos en la Tierra. El estatus divino de los planetas y su supuesta influencia en las actividades humanas puede haber sido la principal motivación para la observación cuidadosa y continuada de los movimientos planetarios y para el desarrollo de elaborados esquemas para predecir sus posiciones en el futuro.
El astrónomo griego Ptolomeo (que vivió en Alejandría hacia el año 140 de nuestra era) propuso un sistema de movimiento planetario en el que la Tierra estaba fija en el centro y todos los planetas, la Luna y el Sol orbitaban a su alrededor. Desde el punto de vista de un observador en la Tierra, los planetas se mueven por el cielo a una velocidad variable. Incluso invierten su dirección de movimiento ocasionalmente, pero retoman la dirección de movimiento dominante después de un tiempo. Para describir este movimiento variable, Ptolomeo supuso que los planetas giraban alrededor de pequeños círculos llamados epiciclos a una velocidad uniforme, mientras que el centro del círculo epicicloidal orbitaba alrededor de la Tierra en un círculo grande llamado deferente. Otras variaciones en el movimiento se explicaban desplazando los centros del deferente de cada planeta con respecto a la Tierra por una corta distancia. Eligiendo adecuadamente la combinación de velocidades y distancias, Ptolomeo fue capaz de predecir los movimientos de los planetas con considerable precisión. Su esquema fue adoptado como dogma absoluto y sobrevivió más de 1.000 años hasta la época de Copérnico.
Nicolás Copérnico asumió que la Tierra era un planeta más que orbitaba alrededor del Sol junto con los demás planetas. Demostró que este modelo heliocéntrico (centrado en el Sol) era coherente con todas las observaciones y que era mucho más sencillo que el esquema de Ptolomeo. Su creencia de que el movimiento planetario tenía que ser una combinación de movimientos circulares uniformes le obligó a incluir una serie de epiciclos para hacer coincidir los movimientos en las órbitas no circulares. Los epiciclos eran como los términos de la serie de Fourier que se utilizan hoy en día para representar los movimientos planetarios. (Una serie de Fourier es una suma infinita de términos periódicos que oscilan entre valores positivos y negativos de forma suave, donde la frecuencia de oscilación cambia de término a término. Representan aproximaciones cada vez mejores a otras funciones a medida que se mantienen más y más términos). Copérnico también determinó la escala relativa de su sistema solar heliocéntrico, con resultados notablemente cercanos a la determinación moderna.
Tycho Brahe (1546-1601), que nació tres años después de la muerte de Copérnico y tres años después de la publicación del modelo heliocéntrico del sistema solar de este último, seguía abrazando un modelo geocéntrico, pero tenía sólo el Sol y la Luna orbitando la Tierra y todos los demás planetas orbitando el Sol. Aunque este modelo es matemáticamente equivalente al modelo heliocéntrico de Copérnico, representa una complicación innecesaria y es físicamente incorrecto. La mayor contribución de Tycho fueron los más de 20 años de observaciones celestes que recogió; sus mediciones de las posiciones de los planetas y las estrellas tenían una precisión sin precedentes de aproximadamente 2 minutos de arco. (Un minuto de arco es 1/60 de un grado).
Las leyes del movimiento planetario de Kepler
Las observaciones de Tycho fueron heredadas por Johannes Kepler (1571-1630), que fue contratado por Tycho poco antes de su muerte. A partir de estas posiciones precisas de los planetas en tiempos correspondientemente exactos, Kepler determinó empíricamente sus famosas tres leyes que describen el movimiento planetario: (1) las órbitas de los planetas son elipses con el Sol en un foco; (2) la línea radial desde el Sol al planeta barre áreas iguales en tiempos iguales; y (3) la relación de los cuadrados de los períodos de revolución alrededor del Sol de dos planetas cualesquiera es igual a la relación de los cubos de los semiejes mayores de sus respectivas elipses orbitales.
Una elipse (figura 1) es una curva plana definida de tal manera que la suma de las distancias de cualquier punto G de la elipse a dos puntos fijos (S y S′ en la figura 1) es constante. Los dos puntos S y S′ se denominan focos, y la recta en la que se encuentran estos puntos entre los extremos de la elipse en A y P se denomina eje mayor de la elipse. Por tanto, GS + GS′ = AP = 2a en la figura 1, donde a es el semieje mayor de la elipse. Un foco está separado del centro C de la elipse por la parte fraccionaria del semieje mayor dada por el producto ae, donde e < 1 se denomina excentricidad. Así, e = 0 corresponde a un círculo. Si el Sol está en el foco S de la elipse, el punto P en el que el planeta está más cerca del Sol se llama perihelio, y el punto más alejado de la órbita A es el afelio. El término helio se refiere específicamente al Sol como cuerpo primario alrededor del cual orbita el planeta. Dado que los puntos P y A también se denominan ápices, el periapio y el apoapio se utilizan a menudo para designar los puntos correspondientes en una órbita alrededor de cualquier cuerpo primario, aunque a menudo se utilizan términos más específicos, como perigeo y apogeo para la Tierra, para indicar el cuerpo primario. Si G es la localización instantánea de un planeta en su órbita, el ángulo f, llamado anomalía verdadera, localiza este punto respecto al perihelio P con el Sol (o foco S) como origen, o vértice, del ángulo. El ángulo u, llamado anomalía excéntrica, también sitúa a G con respecto a P, pero con el centro de la elipse como origen y no con el foco S. También se mide un ángulo llamado anomalía media l (no mostrado en la figura 1) desde P con S como origen; se define para que aumente uniformemente con el tiempo y para que sea igual a la anomalía verdadera f en el perihelio y el afelio.
La segunda ley de Kepler también se ilustra en la figura 1. Si el tiempo necesario para que el planeta se desplace de P a F es el mismo que para desplazarse de D a E, las áreas de las dos regiones sombreadas serán iguales según la segunda ley. La validez de la segunda ley significa que un planeta debe tener una velocidad superior a la media cerca del perihelio y una velocidad inferior a la media cerca del afelio. La velocidad angular (tasa de cambio del ángulo f) debe variar alrededor de la órbita de forma similar. La velocidad angular media, llamada movimiento medio, es la tasa de cambio de la anomalía media l definida anteriormente.
La tercera ley puede utilizarse para determinar la distancia de un planeta al Sol si se conoce su período orbital, o viceversa. En particular, si el tiempo se mide en años y la distancia en unidades del semieje mayor de la órbita terrestre (es decir, la distancia media de la Tierra al Sol, conocida como unidad astronómica, o UA), la tercera ley puede escribirse τ2 = a3, donde τ es el período orbital.
Las leyes del movimiento de Newton
Las leyes empíricas de Kepler describen el movimiento planetario, pero Kepler no intentó definir ni restringir los procesos físicos subyacentes que rigen el movimiento. Fue Isaac Newton quien logró esa hazaña a finales del siglo XVII. Newton definió el momento como proporcional a la velocidad, y la constante de proporcionalidad como la masa. (Como se ha descrito anteriormente, el impulso es una cantidad vectorial en el sentido de que la dirección del movimiento, así como la magnitud, están incluidas en la definición). Newton definió entonces la fuerza (también una cantidad vectorial) en términos de su efecto sobre los objetos en movimiento y en el proceso formuló sus tres leyes del movimiento: (1) El momento de un objeto es constante a menos que una fuerza exterior actúe sobre el objeto; esto significa que cualquier objeto permanece en reposo o continúa un movimiento uniforme en línea recta a menos que actúe sobre él una fuerza. (2) La tasa de cambio temporal del momento de un objeto es igual a la fuerza que actúa sobre él. (3) Para cada acción (fuerza) hay una reacción (fuerza) igual y opuesta. La primera ley se considera un caso especial de la segunda ley. Galileo, el gran italiano contemporáneo de Kepler que adoptó el punto de vista copernicano y lo promovió vigorosamente, se anticipó a las dos primeras leyes de Newton con sus experimentos en mecánica. Pero fue Newton quien las definió con precisión, estableció las bases de la mecánica clásica y preparó el terreno para su aplicación como mecánica celeste a los movimientos de los cuerpos en el espacio.
Según la segunda ley, una fuerza debe actuar sobre un planeta para que su trayectoria se curve hacia el Sol. Newton y otros observaron que la aceleración de un cuerpo en movimiento circular uniforme debe dirigirse hacia el centro del círculo; además, si varios objetos estuvieran en movimiento circular alrededor del mismo centro a distintas separaciones r y sus períodos de revolución variaran como r3/2, como indicaba la tercera ley de Kepler para los planetas, entonces la aceleración -y por tanto, según la segunda ley de Newton, también la fuerza- debe variar como 1/r2. Suponiendo esta fuerza de atracción entre masas puntuales, Newton demostró que una distribución de masas esféricamente simétrica atraía a un segundo cuerpo fuera de la esfera como si toda la masa distribuida esféricamente estuviera contenida en un punto en el centro de la esfera. Así, la atracción de los planetas por el Sol era la misma que la fuerza gravitatoria que atrae a los objetos hacia la Tierra. Newton concluyó además que la fuerza de atracción entre dos cuerpos masivos era proporcional al cuadrado inverso de su separación y al producto de sus masas, lo que se conoce como la ley de la gravitación universal. Las leyes de Kepler son derivables de las leyes del movimiento de Newton con una fuerza de gravedad central que varía como 1/r2 desde un punto fijo, y la ley de la gravedad de Newton es derivable de las leyes de Kepler si se asumen las leyes del movimiento de Newton.
Además de formular las leyes del movimiento y de la gravedad, Newton también demostró que una masa puntual que se mueve en torno a un centro de fuerza fijo, que varía como el cuadrado inverso de la distancia al centro, sigue una trayectoria elíptica si la velocidad inicial no es demasiado grande, una trayectoria hiperbólica para velocidades iniciales altas y una trayectoria parabólica para velocidades intermedias. En otras palabras, una secuencia de órbitas en la Figura 1 con la distancia del perihelio SP fija pero con la velocidad en P aumentando de órbita a órbita se caracteriza por un aumento correspondiente en la excentricidad orbital e de órbita a órbita tal que e < 1 para órbitas elípticas limitadas, e = 1 para una órbita parabólica, y e > 1 para una órbita hiperbólica. Muchos cometas tienen órbitas casi parabólicas en su primer paso por el sistema solar interior, mientras que las naves espaciales pueden tener órbitas casi hiperbólicas con respecto a un planeta por el que pasan mientras están cerca del planeta.
A lo largo de la historia, el movimiento de los planetas en el sistema solar ha servido de laboratorio para limitar y guiar el desarrollo de la mecánica celeste en particular y de la mecánica clásica en general. En los tiempos modernos, las observaciones cada vez más precisas de los cuerpos celestes han ido acompañadas de predicciones cada vez más precisas de las posiciones futuras, una combinación que se convirtió en una prueba para la propia ley de la gravitación de Newton. Aunque el movimiento lunar (dentro de los errores de observación) parecía ser coherente con una atracción gravitatoria entre masas puntuales que disminuía exactamente como 1/r2, esta ley de la gravitación se demostró finalmente que era una aproximación a la descripción más completa de la gravedad dada por la teoría de la relatividad general. Del mismo modo, una discrepancia de aproximadamente 40 segundos de arco por siglo entre la velocidad de avance observada del perihelio de Mercurio y la predicha por las perturbaciones planetarias con la gravedad newtoniana se explica casi con precisión con la teoría general de la relatividad de Einstein. El hecho de que esta pequeña discrepancia pudiera afirmarse con seguridad como real fue un triunfo de la mecánica celeste cuantitativa.
Perturbaciones y problemas de dos cuerpos
El carácter aproximado de las leyes de Kepler
Las restricciones impuestas a la fuerza para que las leyes de Kepler pudieran derivarse de las leyes de Newton eran que la fuerza debía dirigirse hacia un punto fijo central y que la fuerza debía disminuir como el cuadrado inverso de la distancia. Sin embargo, en la realidad, el Sol, que sirve de fuente de la fuerza principal, no está fijo sino que experimenta pequeñas aceleraciones a causa de los planetas, de acuerdo con la segunda y tercera leyes de Newton. Además, los planetas se atraen entre sí, de modo que la fuerza total sobre un planeta no es sólo la debida al Sol; otros planetas perturban el movimiento elíptico que se habría producido para un planeta concreto si éste hubiera sido el único que orbitara alrededor de un Sol aislado. Por tanto, las leyes de Kepler son sólo aproximadas. El movimiento del propio Sol significa que, incluso cuando se desprecian las atracciones de otros planetas, la tercera ley de Kepler debe sustituirse por (M + mi)τ2 ∝ a3, donde mi es una de las masas planetarias y M es la masa del Sol. El hecho de que las leyes de Kepler sean tan buenas aproximaciones a los movimientos planetarios reales se debe a que todas las masas planetarias son muy pequeñas comparadas con la del Sol. Las perturbaciones del movimiento elíptico son por tanto pequeñas, y el coeficiente M + mi ≈ M para todas las masas planetarias mi significa que la tercera ley de Kepler está muy cerca de ser cierta.
La segunda ley de Newton para una masa determinada es una ecuación diferencial de segundo orden que debe resolverse para cualquier fuerza que actúe sobre el cuerpo si se quiere deducir su posición en función del tiempo. La solución exacta de esta ecuación, que daba como resultado una trayectoria derivada que era una elipse, una parábola o una hipérbola, dependía de la suposición de que sólo había dos partículas puntuales que interactuaban por la fuerza cuadrada inversa. Por tanto, este “problema gravitatorio de dos cuerpos” tiene una solución exacta que reproduce las leyes de Kepler. Si uno o más cuerpos adicionales también interactúan con el par original a través de sus interacciones gravitatorias mutuas, no se puede obtener una solución exacta para las ecuaciones diferenciales del movimiento de ninguno de los cuerpos involucrados. Sin embargo, como se ha señalado anteriormente, el movimiento de un planeta es casi elíptico, ya que todas las masas implicadas son pequeñas en comparación con el Sol. Resulta entonces conveniente tratar el movimiento de un planeta concreto como un movimiento elíptico ligeramente perturbado y determinar los cambios en los parámetros de la elipse que resultan de las pequeñas fuerzas a medida que avanza el tiempo. Los elaborados desarrollos de diversas teorías de perturbación y sus aplicaciones para aproximar los movimientos exactos de los cuerpos celestes es lo que ha ocupado a los mecánicos celestes desde la época de Newton.
Perturbaciones del movimiento elíptico
Hasta ahora se han utilizado los siguientes parámetros orbitales, o elementos, para describir el movimiento elíptico: el semieje mayor orbital a, la excentricidad orbital e y, para especificar la posición en la órbita con respecto al perihelio, la anomalía verdadera f, la anomalía excéntrica u o la anomalía media l. Se necesitan tres elementos orbitales más para orientar la elipse en el espacio, ya que esa orientación cambiará debido a las perturbaciones. Los parámetros adicionales más comúnmente elegidos se ilustran en la Figura 2, donde el plano de referencia se elige arbitrariamente como el plano de la eclíptica, que es el plano de la órbita de la Tierra definido por la trayectoria del Sol en el cielo. (Para el movimiento de un satélite artificial cercano a la Tierra, el plano de referencia más conveniente sería el del Ecuador terrestre). El ángulo i es la inclinación del plano orbital respecto al plano de referencia. La línea de nodos es la intersección del plano orbital con el plano de referencia, y el nodo ascendente es aquel punto en el que el planeta pasa de estar por debajo del plano de referencia (sur) a estar por encima del plano de referencia (norte). El nodo ascendente se describe por su posición angular medida desde un punto de referencia en el plano de la eclíptica, como el equinoccio de primavera; el ángulo Ω se denomina longitud del nodo ascendente. El ángulo ω (llamado argumento del perihelio) es la distancia angular del nodo ascendente al perihelio medida en el plano de la órbita.
Para el problema de dos cuerpos, todos los parámetros orbitales a, e, i, Ω y ω son constantes. Una sexta constante T, el momento del paso del perihelio (es decir, cualquier fecha en la que se sabe que el objeto en órbita está en el perihelio), puede utilizarse para sustituir a f, u o l, y la posición del planeta en su órbita elíptica fija puede determinarse de forma única en momentos posteriores. Estas seis constantes se determinan de forma única mediante las seis condiciones iniciales de tres componentes del vector de posición y tres componentes del vector de velocidad con respecto a un sistema de coordenadas fijo con respecto al plano de referencia. Cuando se tienen en cuenta pequeñas perturbaciones, es conveniente considerar la órbita como una elipse instantánea cuyos parámetros están definidos por los valores instantáneos de los vectores de posición y velocidad, ya que para pequeñas perturbaciones la órbita es aproximadamente una elipse. Sin embargo, en realidad, las perturbaciones hacen que los seis parámetros antes constantes varíen lentamente, y la órbita instantánea perturbada se denomina elipse oscilante; es decir, la elipse oscilante es aquella órbita elíptica que asumiría el cuerpo si todas las fuerzas perturbadoras se desconectaran repentinamente.
Las ecuaciones diferenciales de primer orden que describen la variación de los seis parámetros orbitales pueden construirse para cada planeta u otro cuerpo celeste a partir de las ecuaciones diferenciales de segundo orden que resultan de igualar la masa por la aceleración de un cuerpo con la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él (segunda ley de Newton). Estas ecuaciones se denominan a veces ecuaciones planetarias de Lagrange por haber sido derivadas por el gran matemático italo-francés Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). Siempre que las fuerzas sean conservativas y no dependan de las velocidades -es decir, que no haya pérdida de energía mecánica por procesos como la fricción- pueden derivarse de las derivadas parciales de una función de las coordenadas espaciales únicamente, llamada energía potencial, cuya magnitud depende de las separaciones relativas de las masas.
En el caso de que todas las fuerzas puedan derivarse de dicha energía potencial, la energía total de un sistema de cualquier número de partículas -es decir, la energía cinética más la energía potencial- es constante. La energía cinética de una sola partícula es la mitad de su masa por el cuadrado de su velocidad, y la energía cinética total es la suma de tales expresiones para todas las partículas consideradas. El principio de conservación de la energía se expresa así mediante una ecuación que relaciona las velocidades de todas las masas con sus posiciones en cualquier momento. Las derivadas parciales de la energía potencial con respecto a las coordenadas espaciales se transforman en derivadas de partículas de una función perturbadora con respecto a los elementos orbitales en las ecuaciones de Lagrange, donde la función perturbadora desaparece si se eliminan todos los cuerpos que perturban el movimiento elíptico. Al igual que las ecuaciones de movimiento de Newton, las ecuaciones diferenciales de Lagrange son exactas, pero sólo pueden resolverse numéricamente en un ordenador o analíticamente mediante aproximaciones sucesivas. En este último proceso, la función perturbadora se representa mediante una serie de Fourier, cuya convergencia (disminución sucesiva del tamaño e importancia de los términos) depende del tamaño de las excentricidades e inclinaciones orbitales. Se utilizan ingeniosos cambios de variables y otros trucos matemáticos para aumentar el lapso de tiempo en el que las soluciones (también representadas por series) son buenas aproximaciones al movimiento real. Estas soluciones en serie suelen divergir, pero siguen representando los movimientos reales notablemente bien durante períodos de tiempo limitados. Uno de los mayores triunfos de la mecánica celeste con estas técnicas de perturbación fue el descubrimiento de Neptuno en 1846 a partir de las perturbaciones del movimiento de Urano.
Ejemplos de perturbaciones
Algunas de las variaciones de los parámetros orbitales provocadas por las perturbaciones pueden entenderse de forma sencilla. La órbita lunar está inclinada con respecto al plano de la eclíptica unos 5°, y se observa que la longitud de su nodo ascendente en el plano de la eclíptica (Ω en la figura 2) retrocede (Ω disminuye) una revolución completa en 18,61 años. El Sol es la causa dominante de esta regresión del nodo lunar. Cuando la Luna está más cerca del Sol que de la Tierra, el Sol acelera la Luna ligeramente más de lo que acelera la Tierra. Esta diferencia en las aceleraciones es lo que perturba el movimiento lunar alrededor de la Tierra. La Luna no sale volando en esta situación, ya que la aceleración de la Luna hacia la Tierra es mucho mayor que la diferencia entre las aceleraciones del Sol sobre la Tierra y la Luna.
El Sol, por supuesto, está siempre en el plano de la eclíptica, ya que su trayectoria aparente entre las estrellas define el plano. Esto significa que la aceleración perturbadora que acabamos de definir siempre apuntará ligeramente hacia el plano eclíptico siempre que la Luna esté por debajo o por encima de este plano en su movimiento orbital alrededor de la Tierra. Esta tendencia a atraer a la Luna hacia el plano de la eclíptica significa que la Luna cruzará el plano en cada media órbita en una longitud que es ligeramente menor que la longitud en la que habría cruzado si el Sol no hubiera estado allí. Así, la línea de nodos habrá retrocedido. La velocidad instantánea con la que el nodo retrocede varía a medida que la geometría cambia durante el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, y durante el movimiento del sistema Tierra-Luna alrededor del Sol, pero siempre hay una regresión neta. Este cambio, que se produce siempre en la misma dirección a medida que aumenta el tiempo, se denomina perturbación secular. A la perturbación secular de la longitud del nodo se superponen perturbaciones periódicas (que cambian periódicamente de dirección), que se revelan por el hecho de que la tasa de regresión secular del nodo no es constante en el tiempo. El Sol provoca un aumento secular de la longitud del perigeo lunar (Ω + ω en la figura 2) de una revolución completa en 8,85 años, así como perturbaciones periódicas en la inclinación, la excentricidad y el movimiento medio.
Para los satélites artificiales cercanos a la Tierra, la desviación de la distribución de la masa terrestre respecto a la simetría esférica es la causa dominante de las perturbaciones del movimiento elíptico puro. La desviación más importante es el abultamiento ecuatorial de la Tierra debido a su rotación. Si, por ejemplo, la Tierra fuera una esfera con un anillo de masa alrededor de su ecuador, el anillo daría a un satélite cuya órbita estuviera inclinada hacia el ecuador una componente de aceleración hacia el plano del ecuador siempre que el satélite estuviera por encima o por debajo de este plano. Por un argumento similar al de la Luna actuada por el Sol, esta aceleración haría retroceder la línea de los nodos de una órbita cercana del satélite un poco más de 5° por día.
Como último ejemplo, la distribución de los continentes y los océanos y las diferentes densidades de masa en el manto terrestre (la capa subyacente a la corteza) provocan una ligera desviación del campo de fuerzas gravitatorias de la Tierra respecto a la simetría axial. Por lo general, esto sólo provoca perturbaciones de corta duración y baja amplitud en los satélites cercanos a la Tierra. Sin embargo, los satélites de comunicaciones o meteorológicos destinados a mantener una longitud fija sobre el Ecuador (es decir, los satélites geoestacionarios, que orbitan de forma sincronizada con la rotación de la Tierra) se ven desestabilizados por esta desviación excepto en dos longitudes. Si la asimetría axial está representada por un Ecuador ligeramente elíptico, la diferencia entre el eje mayor y el menor de la elipse es de unos 64 metros, con el eje mayor situado a unos 35° W. Un satélite en una posición ligeramente adelantada al eje largo del Ecuador elíptico experimentará una componente de aceleración opuesta a su dirección de movimiento orbital (como si una gran montaña tirara de él hacia atrás). Esta aceleración hace que el satélite se acerque a la Tierra y aumente su movimiento medio, haciendo que se desplace más por delante de la protuberancia axial del Ecuador. Si el satélite se encuentra ligeramente por detrás de la protuberancia axial, experimenta una aceleración en la dirección de su movimiento. Esto hace que el satélite se aleje de la Tierra con una disminución de su movimiento medio, por lo que se alejará más de la protuberancia axial. Los satélites terrestres síncronos son, por tanto, repelidos del eje largo de la elipse ecuatorial y atraídos por el eje corto, y se requieren aceleraciones compensatorias, normalmente procedentes de chorros a bordo, para estabilizar un satélite en cualquier longitud distinta de las dos correspondientes a los extremos del eje corto de la protuberancia axial. (En realidad, los chorros son necesarios para cualquier longitud, ya que también deben compensar otras perturbaciones, como la presión de radiación).
El problema de los tres cuerpos
La inclusión de las perturbaciones solares en el movimiento de la Luna da lugar a un “problema de tres cuerpos” (Tierra-Luna-Sol), que es la complicación más sencilla del problema de dos cuerpos, completamente resoluble, comentado anteriormente. Cuando la Tierra, la Luna y el Sol se consideran masas puntuales, este problema particular de tres cuerpos se denomina “el problema principal de la teoría lunar”, que se ha estudiado ampliamente con una variedad de métodos que comienzan con Newton. Aunque el problema de los tres cuerpos no tiene una solución analítica completa en forma cerrada, varias soluciones en serie por aproximaciones sucesivas logran tal precisión que las teorías completas del movimiento lunar deben incluir los efectos de las distribuciones de masa no esféricas tanto de la Tierra como de la Luna, así como los efectos de los planetas, si se quiere que la precisión de las posiciones predichas se acerque a la de las observaciones. La mayoría de los esquemas para el problema principal son parcialmente numéricos y, por tanto, sólo se aplican al movimiento lunar. Una excepción es el trabajo completamente analítico del astrónomo francés Charles-Eugène Delaunay (1816-72), que explotó y desarrolló las técnicas más elegantes de la mecánica clásica iniciadas por su contemporáneo, el astrónomo y matemático irlandés William R. Hamilton (1805-65). Delaunay pudo predecir la posición de la Luna con un margen de error de 20 años. Como su desarrollo era totalmente analítico, el trabajo era aplicable a los movimientos de los satélites alrededor de otros planetas, donde las expansiones en serie convergían mucho más rápidamente que en la aplicación al movimiento lunar.
El trabajo de Delaunay sobre la teoría lunar demuestra parte de la influencia que la mecánica celeste ha tenido en el desarrollo de las técnicas de la mecánica clásica. Este estrecho vínculo entre el desarrollo de la mecánica clásica y su aplicación a la mecánica celeste probablemente no haya quedado mejor demostrado que en los trabajos del matemático francés Henri Poincaré (1854-1912). Poincaré, junto con otros grandes matemáticos como George D. Birkhoff (1884-1944), Aurel Wintner (1903-58) y Andrey N. Kolmogorov (1903-87), situó la mecánica celeste sobre una base matemática más sólida y se preocupó menos por la predicción cuantitativamente exacta del movimiento de los cuerpos celestes. Poincaré demostró que las soluciones en serie utilizadas durante tanto tiempo en la mecánica celeste generalmente no convergían, pero que podían dar descripciones precisas del movimiento durante periodos de tiempo significativos de forma truncada. Los elaborados desarrollos teóricos de la mecánica celeste y clásica han recibido más atención recientemente al darse cuenta de que una gran clase de movimientos son de naturaleza irregular o caótica y requieren enfoques fundamentalmente diferentes para su descripción.
El problema restringido de los tres cuerpos
La forma más sencilla del problema de los tres cuerpos se denomina problema restringido de los tres cuerpos, en el que una partícula de masa infinitesimal se mueve en el campo gravitatorio de dos cuerpos masivos que orbitan según la solución exacta del problema de los dos cuerpos. (La partícula con masa infinitesimal, a veces llamada partícula sin masa, no perturba los movimientos de los dos cuerpos masivos). Existe una enorme literatura dedicada a este problema, que incluye tanto desarrollos analíticos como numéricos. Los trabajos analíticos se dedicaron sobre todo al problema de los tres cuerpos restringidos, circular y plano, en el que todas las partículas están confinadas en un plano y las dos masas finitas están en órbitas circulares alrededor de su centro de masa (un punto en la línea entre las dos masas que está más cerca de la más masiva). Los desarrollos numéricos permitieron considerar el problema más general.
En el problema circular, las dos masas finitas se fijan en un sistema de coordenadas que gira a la velocidad angular orbital, con el origen (eje de rotación) en el centro de masa de los dos cuerpos. Lagrange demostró que en este marco de rotación había cinco puntos estacionarios en los que la partícula sin masa permanecería fija si se colocara allí. Hay tres de estos puntos situados en la línea que une las dos masas finitas: uno entre las masas y otro fuera de cada una de ellas. Los otros dos puntos fijos, llamados puntos triangulares, están situados equidistantes de las dos masas finitas a una distancia igual a la separación de las masas finitas. Las dos masas y los puntos estacionarios triangulares se sitúan así en los vértices de triángulos equiláteros en el plano de la órbita circular.
Existe una constante del movimiento en el marco de rotación que conduce a una ecuación que relaciona la velocidad de la partícula sin masa en este marco con su posición. Para determinados valores de esta constante es posible construir curvas en el plano en las que la velocidad desaparece. Si tal curva de velocidad cero es cerrada, la partícula no puede escapar del interior de la curva cerrada de velocidad cero si se coloca allí con la constante del movimiento igual al valor utilizado para construir la curva. Estas curvas de velocidad cero se pueden utilizar para demostrar que los tres puntos estacionarios colineales son inestables en el sentido de que, si la partícula se coloca en uno de estos puntos, la más mínima perturbación hará que se aleje. Los puntos triangulares son estables si la relación de las masas finitas es inferior a 0,04, y la partícula ejecutaría pequeñas oscilaciones en torno a uno de los puntos triangulares si se la alejara ligeramente. Dado que la relación de masas entre Júpiter y el Sol es de aproximadamente 0,001, el criterio de estabilidad se cumple, y Lagrange predijo la presencia de los asteroides troyanos en los puntos triangulares del sistema Sol-Júpiter 134 años antes de que fueran observados. Por supuesto, la estabilidad de los puntos triangulares debe depender también de las perturbaciones de cualquier otro cuerpo. Tales perturbaciones son lo suficientemente pequeñas como para no desestabilizar los asteroides troyanos. También se han encontrado cuerpos individuales de tipo troyano orbitando en los puntos triangulares inicial y final de las órbitas de Neptuno y del satélite de Saturno Tethys, en el punto triangular inicial de la órbita de otro satélite saturniano, Dione, y en el punto final de la órbita de Marte.
Resonancias orbitales
Existen configuraciones estables en el problema restringido de los tres cuerpos que no son estacionarias en el marco de rotación. Si, por ejemplo, Júpiter y el Sol son los dos cuerpos masivos, estas configuraciones estables se producen cuando los movimientos medios de Júpiter y de la partícula pequeña -aquí un asteroide- se acercan a una relación de enteros pequeños. Se dice entonces que los movimientos medios orbitales son casi conmensurables, y un asteroide que está atrapado cerca de dicha conmensurabilidad de movimientos medios se dice que está en una resonancia orbital con Júpiter. Por ejemplo, los asteroides troyanos libran (oscilan) alrededor de la resonancia orbital 1:1 (es decir, el período orbital de Júpiter está en una relación 1:1 con el período orbital de los asteroides troyanos); el asteroide Thule libra alrededor de la resonancia orbital 4:3; y varios asteroides del grupo Hilda libran alrededor de la resonancia orbital 3:2. Hay varias resonancias orbitales estables de este tipo entre los satélites de los principales planetas y una que involucra a Plutón y al planeta Neptuno. Sin embargo, el análisis basado en el problema restringido de los tres cuerpos no puede utilizarse para las resonancias de los satélites, excepto para la resonancia 4:3 entre los satélites de Saturno Titán e Hiperión, ya que los participantes en las resonancias de los satélites suelen tener masas comparables.
Aunque el asteroide Griqua libra en torno a la resonancia 2:1 con Júpiter, y Alinda libra en torno a la resonancia 3:1, las conmensurabilidades orbitales 2:1, 7:3, 5:2 y 3:1 se caracterizan por la ausencia de asteroides en una distribución uniforme bastante poblada que abarca todas las conmensurabilidades. Estas son las brechas de Kirkwood en la distribución de asteroides, y la reciente comprensión de su creación y mantenimiento ha introducido en la mecánica celeste un concepto totalmente nuevo de órbitas irregulares, o caóticas, en un sistema cuyas ecuaciones de movimiento son totalmente deterministas.
Órbitas caóticas
El astrónomo francés Michel Hénon y el astrónomo estadounidense Carl Heiles descubrieron que cuando un sistema que presenta un movimiento periódico, como un péndulo, es perturbado por una fuerza externa que también es periódica, algunas condiciones iniciales conducen a movimientos en los que el estado del sistema se vuelve esencialmente impredecible (dentro de cierto rango de estados del sistema) en algún momento en el futuro, mientras que las condiciones iniciales dentro de algún otro conjunto producen un comportamiento cuasiperiódico o predecible. El comportamiento imprevisible se denomina caótico, y las condiciones iniciales que lo producen se dice que se encuentran en una zona caótica. Si la zona caótica está acotada, en el sentido de que sólo rangos limitados de valores iniciales de las variables que describen el movimiento conducen a un comportamiento caótico, la incertidumbre en el estado del sistema en el futuro está limitada por la extensión de la zona caótica; es decir, los valores de las variables en el futuro lejano son completamente inciertos sólo dentro de aquellos rangos de valores dentro de la zona caótica. Esta incertidumbre completa dentro de la zona significa que el sistema acabará acercándose arbitrariamente a cualquier conjunto de valores de las variables dentro de la zona si se le da tiempo suficiente. Las órbitas caóticas se observaron por primera vez en el cinturón de asteroides.
Un término periódico en la expansión de la función perturbadora para una órbita típica de asteroide adquiere mayor importancia a la hora de influir en el movimiento del asteroide si la frecuencia con la que cambia de signo es muy pequeña y su coeficiente es relativamente grande. En el caso de los asteroides que orbitan cerca de un movimiento medio conmensurable con Júpiter, suele haber varios términos en la función perturbadora con coeficientes grandes y frecuencias pequeñas que son cercanas pero no idénticas. Estos términos “resonantes” suelen dominar tanto las perturbaciones del movimiento del asteroide que todos los términos de mayor frecuencia pueden despreciarse al determinar una primera aproximación al movimiento perturbado. Esta desestimación equivale a promediar los términos de alta frecuencia a cero; los términos de baja frecuencia sólo cambian ligeramente durante el promediado. Si una de las frecuencias desaparece en el promedio, el término periódico se vuelve casi constante, o secular, y el asteroide queda encerrado en una resonancia orbital exacta cerca de la conmensurabilidad del movimiento medio particular. Sin embargo, los movimientos medios no son exactamente conmensurables en dicha resonancia, ya que el movimiento del nodo orbital o perihelio del asteroide siempre está involucrado (excepto para las resonancias troyanas 1:1).
Por ejemplo, para la conmensurabilidad 3:1, el ángulo θ = λA – 3λJ + ϖA es el argumento de uno de los términos periódicos importantes cuya variación puede desaparecer (frecuencia cero). Aquí λ = Ω + ω + l es la longitud media, los subíndices A y J se refieren al asteroide y a Júpiter, respectivamente, y ϖ = Ω + ω es la longitud del perihelio (véase la figura 2). Dentro de la resonancia, el ángulo θ libra, u oscila, alrededor de un valor constante como lo haría un péndulo alrededor de su posición de equilibrio en la parte inferior de su oscilación. Cuanto mayor sea la amplitud del péndulo equivalente, mayor será su velocidad en la parte inferior de su oscilación. Si la velocidad del péndulo en la parte inferior de su oscilación, o, equivalentemente, la tasa máxima de cambio del ángulo θ, es suficientemente alta, el péndulo oscilará sobre la parte superior de su soporte y estará en un estado de rotación en lugar de libración. El valor máximo de la tasa de cambio de θ para el que θ sigue siendo un ángulo de libración (invirtiendo periódicamente su variación) en lugar de uno de rotación (aumentando o disminuyendo monótonamente) se define como la semiancha de la resonancia.
Otro término con frecuencia casi nula cuando el asteroide está cerca de la conmensurabilidad 3:1 tiene el argumento θ′ = λA – λJ + 2ϖJ. La sustitución de la longitud del perihelio de Júpiter por la del asteroide significa que las tasas de cambio de θ y θ′ serán ligeramente diferentes. Como las resonancias no están muy separadas en frecuencia, pueden existir valores del movimiento medio del asteroide en los que tanto θ como θ′ serían ángulos de libración si cualquiera de las resonancias existiera en ausencia de la otra. En este caso se dice que las resonancias se solapan, y el intento del sistema de librar simultáneamente en torno a ambas resonancias para algunas condiciones iniciales conduce a un comportamiento orbital caótico. La característica importante de la zona caótica para el movimiento del asteroide cerca de un movimiento medio conmensurable con Júpiter es que incluye una región donde la excentricidad orbital del asteroide es grande. Durante la variación de los elementos a lo largo de toda la zona caótica a medida que aumenta el tiempo, se deben alcanzar ocasionalmente grandes excentricidades. Para los asteroides cercanos a la conmensurabilidad 3:1 con Júpiter, la órbita cruza entonces la de Marte, cuya interacción gravitatoria en un encuentro cercano puede sacar al asteroide de la zona 3:1.
Al integrar numéricamente muchas órbitas cuyas condiciones iniciales abarcaban la región de la brecha 3:1 de Kirkwood en el cinturón de asteroides, Jack Wisdom, un dinamizador estadounidense que desarrolló un poderoso medio para analizar los movimientos caóticos, descubrió que la zona caótica alrededor de esta brecha coincidía precisamente con la extensión física de la misma. No hay asteroides observables con órbitas dentro de la zona caótica, pero hay muchos justo fuera de los extremos de la zona. Otras lagunas de Kirkwood pueden explicarse de forma similar. La constatación de que las órbitas regidas por las leyes del movimiento y la gravitación de Newton podrían tener propiedades caóticas y que tales propiedades podrían resolver un viejo problema de la mecánica celeste del sistema solar es un gran avance en la materia.
El problema de los n cuerpos
El problema general de los n cuerpos, donde n es mayor que tres, ha sido atacado enérgicamente con técnicas numéricas en potentes ordenadores. La mecánica celeste en el sistema solar es, en última instancia, un problema de n cuerpos, pero las configuraciones especiales y la relativa pequeñez de las perturbaciones han permitido realizar descripciones bastante precisas de los movimientos (válidas para periodos de tiempo limitados) con diversas aproximaciones y procedimientos sin intentar resolver el problema completo de n cuerpos. Algunos ejemplos son el problema restringido de tres cuerpos para determinar el efecto de las perturbaciones de Júpiter sobre los asteroides y el uso de aproximaciones sucesivas de soluciones en serie para añadir secuencialmente los efectos de perturbaciones cada vez más pequeñas para el movimiento de la Luna. En el problema general de n cuerpos, todos los cuerpos tienen masas, velocidades iniciales y posiciones arbitrarias; los cuerpos interactúan a través de la ley de gravitación de Newton, y se intenta determinar el movimiento posterior de todos los cuerpos. Se han realizado con éxito muchas soluciones numéricas para el movimiento de un número bastante grande de partículas gravitatorias, en las que el movimiento preciso de las partículas individuales suele ser menos importante que el comportamiento estadístico del grupo.
Soluciones numéricas
Se pueden formular soluciones numéricas de las ecuaciones de movimiento exactas para n cuerpos. Cada cuerpo está sometido a la atracción gravitatoria de todos los demás, y puede estar sometido también a otras fuerzas. Es relativamente fácil escribir la expresión para la aceleración instantánea (ecuación de movimiento) de cada cuerpo si se conoce la posición de todos los demás cuerpos, y las expresiones para todas las demás fuerzas pueden escribirse (como para las fuerzas gravitatorias) en términos de las posiciones relativas de las partículas y otras características definitorias de la partícula y su entorno. Se permite que cada partícula se mueva bajo su aceleración instantánea durante un breve paso de tiempo. Su velocidad y posición se modifican, y los nuevos valores de las variables se utilizan para calcular la aceleración para el siguiente paso de tiempo, y así sucesivamente. Por supuesto, la posición y la velocidad reales de la partícula después de cada paso de tiempo diferirán de los valores calculados por errores de dos tipos. Un tipo resulta del hecho de que la aceleración no es realmente constante en el paso de tiempo, y el otro del redondeo o truncamiento de los números en cada paso del cálculo. El primer tipo de error se reduce si se toman pasos de tiempo más cortos. Pero esto significa que hay que realizar más operaciones numéricas en un lapso de tiempo determinado, y esto aumenta el error de redondeo para una precisión dada de los números que se llevan en el cálculo. El diseño de los algoritmos numéricos, así como la elección de las precisiones y los tamaños de los pasos que maximizan la velocidad del cálculo manteniendo los errores dentro de unos límites razonables, es casi una forma de arte desarrollada con mucha experiencia e ingenio. Por ejemplo, existe un esquema para extrapolar el tamaño del paso a cero con el fin de encontrar el cambio en las variables en un lapso de tiempo relativamente corto, minimizando así la acumulación de errores de esta fuente. Si la energía total del sistema se conserva teóricamente, su evaluación para los valores de las variables al principio y al final de un cálculo es una medida de los errores que se han acumulado.
El movimiento de los planetas del sistema solar a lo largo de escalas de tiempo que se aproximan a su edad de 4.600 millones de años es un problema clásico de n cuerpos, donde n = 9 con el Sol incluido. La cuestión de si el sistema solar es o no estable en última instancia -si la configuración actual de los planetas se mantendrá indefinidamente bajo sus perturbaciones mutuas, o si uno u otro planeta acabará por desaparecer del sistema o por alterar drásticamente su órbita- es una cuestión que viene de lejos y que algún día podría responderse mediante cálculos numéricos. La interacción de las resonancias orbitales y las órbitas caóticas que se ha comentado anteriormente puede investigarse numéricamente, y esta interacción puede ser crucial para determinar la estabilidad del sistema solar. Ya parece que los parámetros que definen las órbitas de varios planetas varían en zonas caóticas estrechas, pero todavía no se sabe si este caos puede conducir a la inestabilidad si se le da el tiempo suficiente.
Si las aceleraciones se determinan sumando todas las interacciones por pares de las n partículas, el tiempo de computación por paso de tiempo aumenta como n2. Por lo tanto, los cálculos prácticos para el cálculo directo de las interacciones entre todas las partículas están limitados a n < 10.000. Por lo tanto, para valores mayores de n, se utilizan esquemas en los que se supone que una partícula se mueve en el campo de fuerzas de las restantes partículas aproximado por el debido a una distribución de masas continua, o se utiliza una “estructura de árbol” en la que los efectos de las partículas cercanas se consideran individualmente mientras que grupos de partículas cada vez mayores se consideran colectivamente a medida que aumentan sus distancias. Estos últimos esquemas tienen la capacidad de calcular la evolución de un sistema muy grande de partículas utilizando una cantidad razonable de tiempo de computación con una aproximación razonable. Se han utilizado valores de n cercanos a 100.000 en cálculos que determinan la evolución de galaxias de estrellas. Los valores de n en los miles de millones se han utilizado en los cálculos de la formación de galaxias en el universo primitivo. También se han determinado las consecuencias para la distribución de las estrellas cuando dos galaxias se acercan o incluso chocan. Incluso se han completado los cálculos del problema de los n-cuerpos en los que n cambia con el tiempo en el estudio de la acumulación de cuerpos más grandes a partir de cuerpos más pequeños mediante colisiones en el proceso de formación de los planetas.
En todos los cálculos de n-cuerpos, las aproximaciones muy cercanas de dos partículas pueden dar lugar a aceleraciones tan grandes y que cambian tan rápidamente que se introducen grandes errores o el cálculo diverge completamente. A veces se puede mantener la precisión en una aproximación tan cercana, pero sólo a costa de requerir pasos de tiempo muy cortos, lo que ralentiza drásticamente el cálculo. Cuando n es pequeño, como en algunos cálculos del sistema solar en los que todavía dominan las órbitas de dos cuerpos, las aproximaciones cercanas se manejan a veces mediante un cambio en un conjunto de variables, que suelen incluir la anomalía excéntrica u, que varían mucho menos rápidamente durante el encuentro. En este proceso, llamado regularización, el encuentro se recorre en menos tiempo de computación mientras se preserva una precisión razonable. Este proceso es poco práctico cuando n es grande, por lo que las aceleraciones suelen estar acotadas artificialmente en las aproximaciones cercanas para evitar inestabilidades en el cálculo numérico y para no ralentizar el cálculo. Por ejemplo, si varios conjuntos de partículas estuvieran atrapados en órbitas binarias estables y cercanas, los pasos de tiempo muy cortos necesarios para seguir este movimiento rápido harían que el cálculo se paralizara prácticamente, y dicho movimiento binario no es importante en la evolución global de, por ejemplo, una galaxia de estrellas.
Mapas algebraicos
En los cálculos numéricos para sistemas conservadores con valores modestos de n a lo largo de periodos de tiempo prolongados, como los que buscan determinar la estabilidad del sistema solar, la solución directa de las ecuaciones diferenciales que rigen los movimientos requiere un tiempo excesivo en cualquier ordenador y acumula un error de redondeo excesivo en el proceso. También se requiere un tiempo excesivo para explorar a fondo una gama completa de parámetros orbitales en experimentos numéricos con el fin de determinar la extensión de las zonas caóticas en diversas configuraciones (por ejemplo, las del cinturón de asteroides cerca de las conmensurabilidades de movimiento medio orbital con Júpiter). Una solución a este problema es el uso de un mapa algebraico, que mapea el espacio de las variables del sistema sobre sí mismo de tal manera que los valores de todas las variables en un instante de tiempo se expresan mediante relaciones algebraicas en términos de los valores de las variables en un momento fijo del pasado. Los valores en el siguiente paso de tiempo se determinan aplicando el mismo mapa a los valores recién obtenidos, y así sucesivamente. El mapa se construye suponiendo que los movimientos de todos los cuerpos permanecen imperturbables durante un tiempo corto determinado, pero que son “pateados” periódicamente por las fuerzas perturbadoras durante un solo instante. Las perturbaciones continuas se sustituyen así por impulsos periódicos. Los valores de las variables se “mapean” de un paso de tiempo al siguiente por el hecho de que la parte no perturbada del movimiento está disponible a partir de la solución exacta del problema de dos cuerpos, y es fácil resolver las ecuaciones con todas las perturbaciones durante el corto tiempo del impulso. Aunque esta aproximación no produce exactamente los mismos valores de todas las variables en algún momento del futuro que los producidos por una solución numérica de las ecuaciones diferenciales partiendo de las mismas condiciones iniciales, el comportamiento cualitativo es indistinguible a lo largo de largos períodos de tiempo. Como los ordenadores pueden realizar los cálculos algebraicos hasta 1.000 veces más rápido de lo que pueden resolver las ecuaciones diferenciales correspondientes, el ahorro de tiempo computacional es enorme y los problemas que de otro modo serían imposibles de explorar se vuelven abordables.
La evolución de las mareas
Hasta ahora se ha tratado la mecánica celeste de los cuerpos acelerados por fuerzas conservativas (la energía total se conserva), incluyendo las perturbaciones del movimiento elíptico por distribuciones de masa no esféricas de cuerpos de tamaño finito. Sin embargo, el campo gravitatorio de un cuerpo en órbita cercana a otro distorsionará tímidamente la forma del otro cuerpo. La disipación de parte de la energía almacenada en estas distorsiones de marea conduce a un acoplamiento que provoca cambios seculares (siempre en la misma dirección) en la órbita y en los espines de ambos cuerpos. Dado que la disipación de las mareas explica los estados de espín actuales de varios planetas, los estados de espín de la mayoría de los satélites planetarios y algunas de sus configuraciones orbitales, así como los espines y las órbitas de las estrellas binarias cercanas, es conveniente incluir las mareas y sus consecuencias en esta discusión.
Todos los que han vivido cerca de una costa conocen las mareas altas y bajas que se producen dos veces al día en el océano. Sin embargo, pocos saben que el cuerpo sólido de la Tierra también experimenta mareas dos veces al día con una amplitud máxima de unos 30 centímetros. George Howard Darwin (1845-1912), segundo hijo del naturalista Charles Darwin, fue un astrónomo-geofísico que comprendió cuantitativamente la generación de las mareas en los campos gravitatorios de los cuerpos que las levantan, que son principalmente la Luna y el Sol para la Tierra; señaló que la disipación de la energía de las mareas se traducía en una ralentización de la rotación de la Tierra mientras que la órbita de la Luna se ampliaba gradualmente. El hecho de que cualquier masa provoque una marea sobre cualquier otra masa dentro de su campo gravitatorio se debe a que la fuerza gravitatoria entre dos masas disminuye como el cuadrado inverso de la distancia entre ellas.
En la figura 3, las aceleraciones debidas a la masa ms de tres elementos de masa en la masa esférica mp son proporcionales a la longitud de las flechas unidas a cada elemento. El elemento más cercano a ms se acelera más que el elemento situado en el centro de mp y tiende a dejar atrás al elemento central; el elemento situado en el centro de mp se acelera más que el elemento más alejado de ms, y este último tiende a quedar más atrás. El punto de vista de un observador ficticio en el centro de mp puede realizarse restando la aceleración del elemento de masa central de la de cada uno de los otros dos elementos de masa. Si los elementos de masa estuvieran libres, este observador vería que los dos elementos de masa extremos se aceleran en direcciones opuestas alejándose de su posición en el centro, como se ilustra en la figura 3B.
Pero los elementos de masa no están libres, sino que son atraídos gravitatoriamente entre sí y hacia la masa restante en mp. La aceleración gravitacional de los elementos de masa en la superficie de mp hacia el centro de mp supera con creces la aceleración diferencial debida a la atracción gravitacional de ms, por lo que los elementos no salen volando. Si el mp fuera incompresible y perfectamente rígido, los elementos de masa de la superficie pesarían un poco menos que si no existiera el ms, pero no se moverían con respecto al centro del mp. Si el mp fuera fluido o no fuera rígido, se distorsionaría en forma de óvalo en presencia de ms. La razón de esta distorsión es que los elementos de masa que componen mp y que no se encuentran en la línea que une los centros de mp y ms también experimentan una aceleración diferencial. Sin embargo, estas aceleraciones diferenciales no son perpendiculares a la superficie y, por lo tanto, no son compensadas por la autogravedad que acelera los elementos de masa hacia el centro de mp. Esto se muestra en la figura 4A, donde una de las aceleraciones diferenciales se resuelve en dos componentes (flechas punteadas), una perpendicular y otra tangencial a la superficie. La componente perpendicular es compensada por la autogravedad; la componente tangencial no lo es. Si el mp fuera completamente fluido, las componentes tangenciales no compensadas de las aceleraciones diferenciales debidas al ms harían que la masa fluyera hacia los puntos del mp que estuvieran más cerca o más lejos del ms hasta que el mp se pareciera a la figura 4B. En esta forma, la autogravedad ya no es perpendicular a la superficie, sino que tiene una componente opuesta a la componente tangencial de la aceleración diferencial. Sólo en esta forma distorsionada se compensarán todas las aceleraciones diferenciales y todo el cuerpo se acelerará como el centro. Si el mp no es fluido, sino rígido, como la roca o el hierro, parte de la aceleración compensatoria será proporcionada por las fuerzas de tensión internas, y el cuerpo se distorsionará menos. Como ningún material es perfectamente rígido, siempre hay una cierta protuberancia de marea, y la compresibilidad del material aumentará aún más esta protuberancia. Obsérvese que la distorsión de la marea es independiente del movimiento orbital y también se produciría si mp y ms simplemente cayeran el uno hacia el otro. (Hay una marea similar levantada sobre ms por mp que será ignorada por el momento).
Si mp gira respecto a ms, un observador en la superficie de mp giraría sucesivamente a través de los máximos y mínimos de la distorsión de la marea, que tendería a permanecer alineada con la dirección hacia ms. El observador experimentaría así dos mareas altas y dos mareas bajas al día, como se observa en la Tierra. Parte de la energía de movimiento de las partes fluidas del mp y parte de la energía almacenada en forma de distorsión de las partes sólidas a medida que las mareas crecen y decrecen se convierte en calor, y esta disipación de energía mecánica provoca un retraso en la respuesta del cuerpo a la fuerza de subida de la marea. Esto significa que la marea alta se produciría en un punto determinado del mp al girar con respecto al ms después de que éste pase por encima. (En la Tierra, los continentes alteran tanto el movimiento del océano fluido que las mareas oceánicas en las costas continentales no siempre van a la zaga del paso de la Luna por encima). Si mp gira en la misma dirección que ms gira en su órbita, la protuberancia de la marea se lleva por delante de ms, como se muestra en la figura 5 por el ángulo δ. De nuevo, dado que la fuerza gravitatoria entre dos masas varía como el cuadrado inverso de su separación, la protuberancia de marea más cercana a ms experimenta una mayor atracción hacia ms (F1 en la Figura 5) que la protuberancia más lejana (F2). Como estas dos fuerzas no están alineadas con el centro de mp, se produce un efecto de torsión, o par de torsión, sobre mp que retrasa su velocidad de rotación. Este retraso continuará hasta que la rotación esté sincronizada con el movimiento orbital medio de ms. Esto ha ocurrido con la Luna, que mantiene la misma cara hacia la Tierra.
A partir de la tercera ley de Newton, existen fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre ms y que corresponden a F1 y F2. En la figura 5 estas fuerzas se representan como T1 y T2, y cada una de ellas se ha resuelto en dos componentes, una dirigida hacia el centro de ms y la otra perpendicular a esta dirección. La desigualdad de estas fuerzas provoca una aceleración neta de ms en su órbita, que de este modo se expande, como se observa para la Luna. Tanto el aumento observado de la duración de un día, de 0,0016 segundos por siglo, como el retroceso observado de la Luna, de 3 a 4 centímetros por año, se entienden como consecuencias de las mareas suscitadas en la Tierra.
En la figura 5, se ha supuesto que el eje de giro de mp es perpendicular al plano de la órbita de ms. Si el eje de giro está inclinado con respecto a este plano, la protuberancia de la marea se lleva fuera del plano, así como por delante de ms. Esto significa que hay un giro, o torque, que cambia la dirección del eje de giro, por lo que tanto la magnitud de giro como la dirección del eje de giro experimentan una evolución de marea. El punto final de la evolución de marea para el estado de espín de un cuerpo de un par aislado es la rotación sincrónica con el movimiento orbital medio con el eje de espín perpendicular al plano de la órbita. Esta imagen sencilla se complica un poco si otras perturbaciones provocan la precesión del plano orbital. Esta precesión para la órbita lunar hace que su eje de giro esté inclinado 6°41′ respecto al plano de la órbita como punto final de la evolución de las mareas.
Además de las del par Tierra-Luna, se pueden observar otras numerosas consecuencias de la disipación de las mareas y la evolución resultante en el sistema solar y en otros lugares de la Vía Láctea. Por ejemplo, se observa que todos los satélites planetarios principales y cercanos, excepto uno, giran de forma sincronizada con su movimiento orbital. La excepción es el satélite de Saturno, Hiperión. La fricción de las mareas ha retrasado la velocidad de giro inicial de Hiperión hasta un valor cercano al de la rotación sincrónica, pero la combinación de la forma inusualmente asimétrica de Hiperión y su elevada excentricidad orbital da lugar a pares gravitatorios que hacen inestable la rotación sincrónica. Como resultado, las mareas han llevado a Hiperión a un estado en el que gira caóticamente con grandes cambios en la dirección y magnitud de su giro en escalas de tiempo comparables a su período orbital de unos 21 días.
También se ha observado el montaje y mantenimiento de varias resonancias orbitales entre los satélites debido a la expansión diferencial de las órbitas por las mareas. Las resonancias orbitales entre los satélites de Júpiter Io, Europa y Ganímedes, cuyos periodos orbitales están casi en la proporción 1:2:4, mantienen la excentricidad orbital de Io en el valor de 0,0041. Esta excentricidad más bien modesta provoca una variación suficiente en la magnitud y dirección de la enorme protuberancia de marea de Io como para haber fundido una fracción significativa del satélite mediante la disipación de la energía de marea a pesar de la rotación sincrónica de Io. Como resultado, Io es el cuerpo más volcánico del sistema solar. La excentricidad orbital normalmente se amortiguaría a cero por esta gran disipación, pero las resonancias orbitales con Europa y Ganímedes impiden que esto ocurra.
El lejano planeta enano Plutón y su satélite Caronte han alcanzado casi con toda seguridad el punto final en el que la evolución de las mareas ha cesado por completo (sin tener en cuenta las diminutas mareas provocadas por el Sol y otros planetas). En este estado la órbita es circular, con ambos cuerpos girando de forma sincronizada con el movimiento orbital y ambos ejes de giro perpendiculares al plano orbital.
El giro del planeta Mercurio ha sido frenado por las mareas levantadas por el Sol hasta un estado final en el que la velocidad angular del giro es exactamente 1,5 veces el movimiento medio orbital. Este estado es estable frente a nuevos cambios porque la elevada excentricidad orbital de Mercurio (0,206) permite restaurar los pares de torsión sobre la asimetría axial permanente (no mareal) del planeta, que mantiene el eje ecuatorial más largo alineado con la dirección hacia el Sol en el perihelio. La reducción mareal de la excentricidad media de Mercurio (cercana a 0,2) no provocará cambios suficientes durante el tiempo de vida restante del Sol como para perturbar esta resonancia giro-órbita. Por último, se ha observado que muchas estrellas binarias cercanas tienen órbitas circulares y giros sincronizados, un ejemplo de la evolución de las mareas en otras partes de la Vía Láctea.